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結局今回は使わなかった Nexus 7 のアプリ、C4droid (C/C++ compiler)
n0n3m4 に付いている examples の中に、円周率を計算するサンプルコードがある。初期値２の p を、p*=((double)(((int)((i+2)/2))*2))/(((int)((i+1)/2))*2+1); で百万回回している。その割に、実行結果は、Pi = 3.141591 ・・・小数点以下５桁までしか正しくない。しょぼい。何だこりゃ？ 探しましたがな。
John Wallis(1616/11/23-1703/10/28) の Arithmetica Infinitorum (1656)に出てくる、いわゆるウォリス積
かっちょよく書くと
無限乗積だ！こりやぁ収束遅いわ。式はとっても美しいんだけど。ちょっと見てみる？
ここがexcel2010の底だよー。初めて見たでしょ。
Excel2010の行を使い尽くしてみた。超弩級に重たい。D列が近似値で、E列が真値との誤差。1,048,573回回しても小数点以下５桁までしか正しくないことが分かる。
何故、斯様な式を examples としたのか、全く意図がわからない。関孝和遺編「括要算法 貞」の、355/113 = 3.141592920・・・の方がよっぽどましだ。
ちなみに、おなじみ、Machinの公式。
arctan をTaylor展開する。９回回して小数点以下１４桁をクリア。
いつもの「GNU/Linux上で円周率の計算をおこなう
」は、Gauss AGM。初期値
に対し
を行うと円周率の近似値は
わずか３回のループで小数点以下14桁をクリア。実はこの時点で小数点以下18桁までクリアしている。このアルゴリズム、ｐn が曲者で、1024ループあたりで変数がオーバーフローしてしまう。浮動小数点で計算するのはこの辺が限度ということだ。
実際の多桁円周率計算は、多倍長整数で計算しなければならない。
最近のトレンドは、Chudnovsky algorithm だそうな。
一項目、640320^(3/2) / 12 / 13591409 を電卓で計算すると、3.1415926535897342076684535915783・・・すげ！
二項目で27桁まで計算できちゃうみたい。
円周率を1億桁計算しました！ — その試行錯誤の詳しい経緯と結果
プログラムモグモグ itchynyさんMachin と Gauss_AGM の xlsx ファイルを下に置いとくので好きにして頂戴。Wallis は、70MByteもあって、ppblog に撥ねられちゃったので断念。残念。
「ウォリス一万尺」バージョンを置いときました。小数点以下３桁あたりをうろちょろしています。最終行を思う存分コピーしてください。パソコン固まっても知らないよ。自己責任。
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